Непонятное введение в непонятную теорию струн, или Почему плоскость и кружка – это одно и то же
«Сейчас физика слишком непонятна. Во всяком случае, она слишком трудна для меня, и я предпочел больше никогда не слышать о ней»
– В. Паули, 1925 г.
Введение во Введение
Человек издревле пытался узнать, как устроен этот мир и по каким законам он работает. Наблюдая за трением тел, колебаниями маятника или падением предметов, человек замечал определенные закономерности, повторявшиеся из опыта в опыт, и назвал их впоследствии законами природы. Однако наука носит описательный характер. Мы можем с определенной долей уверенности объяснить, как работает то или иное явление природы, но почему все происходит именно так? Например, почему скорость света именно такая, какая есть; почему электрон и протон обладают именно такими массами, а не другими; наконец, почему притягиваются именно противоположные заряды, а не одноименные? Кто-то скажет, что с такими вопросами нужно идти к священнику, кто-то – что это уже философия; кто-то скажет, что это Бог сотворил мир таким, а кто-то (например, Стивен Хокинг) – что нам повезло жить именно в той Вселенной, в которой массы электрона и протона именно такие и притягиваются именно противоположные заряды, хотя существует множество параллельных вселенных, где все происходит иначе. В любом случае, вопрос почему? гораздо сложнее, чем вопрос как?, поэтому оставим его просвещенным потомкам. Куда более приземленным вопросом является следующий: а является ли мир таким, каким мы его видим и ощущаем? Насчет «видим» можно точно сказать, что наши глаза улавливают лишь около одного процента спектра электромагнитного излучения, и страшно представить, что было бы, если бы мы видели звук и слышали свет (речь, конечно, о соответствующих частотах). Куда интереснее вопрос о восприятии пространства и времени. Мы привыкли ощущать мир четырехмерным (три пространственных измерения + время). А возможно ли, что на самом деле измерений больше, и мы просто не в состоянии их воспринять? Теория струн говорит, что измерений может быть от десяти до двадцати шести, однако обо всем по порядку.
Ох уж этот Пуанкаре
«Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей»
– Википедия
Именно в такой формулировке приводится обобщенная гипотеза Пуанкаре (доказанная Перельманом в 2003 году). Если в ней вам непонятны более двух слов, то стоит разбираться дальше.
Странный раздел и без того странной математики
Существует такая наука, как топология. Это раздел математики, изучающий фундаментальнейшие свойства пространств и многообразий (можно сказать, что это раздел геометрии, однако это не совсем геометрия). Насколько фундаментальными являются изучаемые свойства? Самое основное из них – это свойство непрерывности. Для топологии, в принципе, не важно, как выглядит многообразие (пространство), но важно, непрерывно оно или нет. Пояснить это можно на примере. Всем известны так называемые платоновы тела. Это трехмерные (в нашем понимании) пространственно-симметричные фигуры, составленные из правильных многоугольников (квадратов, пяти- и шестиугольников и т.д.). Всего геометрии известно пять таких тел: куб, додекаэдр, тетраэдр, октаэдр и икосаэдр (рис. 1).
Рисунок 1. Платоновы тела
Очевидно, что они отличаются друг от друга и формой, и числом граней/вершин/ребер, и двугранными углами, и формой образующих граней и т.д. (общая у них только эйлерова характеристика, рассчитываемая как В-Р+Г, где В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней; для всех этих тел характеристика равна 2). Однако с точки зрения топологии они одинаковы. Кстати, с точки зрения топологии, сфера от них тоже ничем не отличается. Итого, имеем шесть одинаковых, по мнению топологии, тел, визуально отличающихся. Как такое может быть? Все дело в том, что каждое из этих тел можно преобразовать в другое не разрезая и не разрывая тело, а только путем деформаций сдавливания и растяжения. Этот факт становится понятным, если представить, что все эти тела сделаны из пластилина: тогда из шара можно слепить куб, из куба (если постараться) – икосаэдр, из икосаэдра – тетраэдр и т.д. Но тогда по какому признаку различаются тела в топологии? По количеству и наличию дырок. Например, бублик и сфера уже будут разными топологически, потому что для того, чтобы получить бублик, нужно проткнуть сферу, т.е. нарушить ее непрерывность (рис 2).
Рисунок 2. Протыканием сферы получаем бублик
Наверно, самым распространенным из неочевидных математических выводов является эквивалентность кружки и бублика: действительно, если половину бублика как следует расплющить и растянуть (но не разрывать и не делать дырок), то получим что-то похожее на кружку; говорят, что кружка и бублик гомеоморфны (читай, взаимно превращаемы) (рис. 3).
Рисунок 3. Из бублика постепенно «вылепливаем» кружку
Но на этом празднике абстракции топология не останавливается. Мы говорили об эквивалентности тел, если их можно получить друг из друга без разрывов и разрезов. А что насчет склейки? Топология разрешает и этот маневр. Пример можно привести следующий. Возьмем прямоугольный лист бумаги. Свернем его в цилиндр. Представив, что бумага достаточно эластична, попробуем соединить торцы этого цилиндра. И в результате таких манипуляций мы получим – вуа-ля – тот же бублик! То есть теперь топология говорит нам, что бублик и лист бумаги (вообще говоря, плоскость) эквиваленты! Это еще абсурднее, чем эквивалентность кружки и бублика. Хотя, постойте! Если плоскость равна бублику, а бублик – кружке, то с точки зрения топологии кружка и плоскость – это одно и то же! Наверно, до такого могли додуматься немногие. Но есть одна неувязочка: бублик, как-никак, трехмерный объект, а плоскость – двумерный. Тогда откуда мы взяли дополнительное измерение? Здесь нас ждет еще один сюрприз в исполнении топологии: бублик (тор) и плоскость имеют одинаковое количество измерений! Но какое? Мы не зря сказали, что платоновы тела трехмерны в нашем понимании, однако топология, как мы уже выяснили, понимает мир иначе. В топологии размерность объекта определяется окрестностью точки, находящейся на поверхности объекта. Так, окрестностью точки, находящейся на плоскости, является тоже плоскость (здесь без выкрутасов). А окрестностью точки, лежащей на поверхности тора – давайте представим, что окрестность эта, как любят говорить математики, бесконечно мала – тоже является плоскость! И действительно, если рассмотреть маковое зернышко на пончике, то можно с некоторой условностью сказать, что оно лежит на участочке плоскости, хоть и очень маленьком – в пределах кривизны пончика. Поэтому и получается, что и плоскость, и тор – это объекты двумерные. Тогда все нормально: из двумерной плоскости получили двумерный же бублик. Кстати, сфера и шар в топологии имеют разные размерности – шар, следуя этой логике, является-таки трехмерным, ведь окрестностью точки на нем является трехмерное пространство с глубиной, длиной и шириной.
Все эти рассуждения понятны и наглядны, когда речь идет об объектах малых размерностей. Но что насчет многомерных объектов? Как представить, например, 8-мерную сферу? А уж тем более понять, есть ли в этом объекте дырки? Тут уже становится слишком сложно.
Как приручить размерность
Выше было описано, как получить тор из сферы. Но как получить сферу из тора? Очевидно, необходимо очередное хитрое преобразование, называемое конифолдным переходом (от слова «конус»). Суть его заключается в том, что через дырку в торе продевается петля, опоясывающая его (как если бы мы сначала натянули на цилиндр резинку для волос, а потом соединили торцы). Затем эта петля стягивается в точку, при этом тор вокруг этой точки несколько изгибается, образуя что-то вроде двуполостного гиперболоида (как если затянуть веревку на воздушном шаре). Разрезав тор по этой точке, получим нечто, напоминающее рогалик (рис.4), из которого с помощью гомотопических (непрерывных) преобразований – сжатий и растяжений – получим-таки сферу. А теперь, как говорится, внимание, вопрос: а зачем вообще нужны эти преобразования и извращения? Но об этом чуть позже.
Рисунок 4. С помощью конифолдного перехода из тора получаем сферу
Пока вернемся к могучему Пуанкаре, к слову, являющемуся отцом топологии. Именно он задумался о том, как исследовать многообразие на наличие дырок. Все эти объекты и пространства задаются с помощью матриц, уравнений, ромба Ходжа, чисел Бетти и т.д. Представить, а тем более визуализировать многомерные объекты не представляется возможным, поэтому нужен другой подход к определению количества дыр в пространстве. Для этого математики предложили следующий способ: на поверхности пространства случайным образом выбирается петля (абстрактная) и стягивается в точку. Если при этом не происходит разрыва и разрезания пространства, то дырок, стало быть, в таком пространстве нет. В вышеупомянутом примере петля проходила через дырку в бублике (мы это заранее знали), и ее сжатие привело к разрыву и топологическому изменению пространства. Если же петля была бы натянута на бублик, как покрышка на колесо, то при стягивании она, подобно резинке, слетела бы с тора, стянувшись точку. В таком случае мы бы приняли тор за сферу. Поэтому надо предусмотреть все варианты расположения петель на многообразии.
Если мы натянем резинку для волос на экватор глобуса, мы сможем постепенно перемещать эту резинку к какому-нибудь из полюсов, где резинка, по идее, стянется в точку. А если мы просто положим резинку на поверхность глобуса, как на стол, то стянуть ее в точку вообще не составит труда (рис. 5).
Рисунок 5. Любую петлю на сфере можно стянуть в точку
Таким образом, не существует такого варианта расположения петли на сфере, при котором стягивание петли в точку приводило бы к разрыву сферы. А это, в свою очередь, означает, что в сфере нет дыр, что мы и так, собственно, знаем. Очевидно, что подобный результат мы получим, располагая петли на любом из платоновых тел. В таком случае, гипотезу Пуанкаре можно переформулировать следующим образом:
«Если любую петлю, находящуюся на многообразии (пространстве) можно стянуть в точку не разрывая и не разрезая это пространство, то такое пространство гомотопически эквивалентно сфере»
Или еще проще:
«Если в пространстве нет ни одной дырки, то из него с помощью сжатий и растяжений можно получить сферу»
То есть, по сути, гипотеза Пуанкаре говорит нам, что если в бесконечно мерном пространстве нет дырок, то из него можно без разрезов и разрывов вылепить бесконечно мерную сферу. Эта гипотеза была доказана для частных размерностей (как и теорема Ферма в свое время), однако общее доказательство для сколь-угодно-мерного случая, как уже говорилось, было найдено Григорием Перельманом.
Кому это надо? Никому не надо!
Или надо? Вообще, топология наука специфичная и не интуитивная, однако несмотря на свою кажущуюся абсурдность она нашла применение в теории струн, утверждающей, что весь материальный мир есть результат колебаний невообразимо малых квантовых струн различной интенсивности и частоты. Струны могут быть замкнутыми, разомкнутыми, с одним свободным концом, или двумя и т.д. – это все разновидности теории. Однако интересно другое. Американский математик китайского происхождения Шинтан Яу доказал гипотезу Калаби на классе многообразий – опять вездесущая топология – и вписал таким образом себя в отцы струнной теории. Суть этой гипотезы понимают далеко не все математики, поэтому скажем, что она касается многообразий и примем за факт: Яу – молодец.
Теория струн претендует на звание Теории Всего, объединяющей теорию относительности и квантовую механику – вещи, работающие только в рамках определенных масштабов. Струнные теоретики хотят объединить в едином формализме 4 фундаментальных силы: сильное взаимодействие (удерживающее кварки в составе адронов и адроны в ядре), слабое взаимодействие (отвечающее за реакции распада и ядерные превращения), электромагнитное взаимодействие и гравитационное взаимодействие. При всем при этом, как показывает опыт, гравитационное взаимодействие является самым слабым: и действительно, скрепку, лежащую на столе, может притянуть к себе даже магнит размером с монетку – это означает, что такой маленький магнит смог своим магнитным полем преодолеть гравитационное притяжение всей планеты Земля! Но почему же гравитация настолько слабее остальных сил? Калаби и Яу нашли оригинальный ответ.
В рамках теории струн возникали уравнения, описывающие те или иные процессы и явления (например, энтропию черной дыры). Эти уравнения легко решались, если предположить, что в нашем мире измерений больше, чем три (предположительно, 9 + время). Казалось бы, это странный вывод, однако с помощью такого допущения все становилось на свои места. Но почему же мы не наблюдаем остальные измерения? Или мы физически не можем это сделать? Калаби и Яу предположили, что к каждой точке нашего привычного пространства прикреплено шестимерное многообразие (многообразие Калаби-Яу). Если представить наше четырехмерное пространство-время в виде нити, разрезать ее поперек и посмотреть в торец разреза, то мы увидим там нечто, изображенное на рис. 6. Как это сделать экспериментально – другой вопрос, но таким образом можно предположить, что гравитация рассеивает львиную долю своей силы в этих шестимерных многообразиях, тогда как нам остается всего ничего. Стало быть, внутри этих многообразий гравитация гораздо сильнее всех остальных взаимодействий.
Рисунок 6. Трехмерная проекция шестимерного многообразия Калаби-Яу
Рисунок 7. К каждой точке пространства «прикреплено» многообразие Калаби-Яу
Тогда возникает другой вопрос: а где, собственно, эти многообразия? Калаби и Яу говорят нам, что, дескать, эти многообразия компактифицированы (т.е. сжаты и упакованы) в бесконечно малые объемы; даже есть квантовые объекты, которые обволакивают эти многообразия, как фантик на киндер-сюрпризе – называются они бранами. Браны эти могут быть различных размерностей, иметь или не иметь заряд, массу и т.д., но их функция принципиально важна: они сдерживают многообразия Калаби-Яу в невероятно сжатом состоянии, дабы они не развернулись и не проникли в наш мир, сделав все эти 10 измерений равными по масштабу и превратив Вселенную в нечто невообразимое с фантастической физикой. Что будет, если эти пространства развернутся (декомпактифицируются)? Возможно, реальными станут такие вещи, как путешествия во времени и телепортация, а возможно это будет…
…очередной вариант конца света
Развертывание шестимерных многообразий аки разжатие пружины может иметь совершенно невообразимые последствия. Возможно, что появление сразу шести новых измерений изменит физику до неузнаваемости, сделав органическую жизнь в принципе невозможной. Тогда мир превратится в нечто фантастическое, но в таком мире места для нас не будет, что означает конец света для человечества. А в каком случае эти многообразия развернутся? Очевидно, если сдавливающие их браны не выдержат и лопнут. Произойти это может, например, в виду того, что Вселенная постоянно расширяется, умирают и рождаются миллиарды звезд, что сказывается на средней плотности энергии. Кроме того, неясной остается роль темной материи и темной энергии, которые, может быть, и отвечают за существование нашего четырехмерного мира… Так что теперь, ложась спать, не забудьте помолиться за прочность и упругость бран.
Вернемся к Яу. Помимо доказательства гипотезы Калаби, Яу (вместе со своим учеником Ричардом Шеном) внес еще один важный вклад в науку, а именно доказал «теорему о положительной энергии». Суть ее заключается в том, что средняя энергия во Вселенной положительна. Казалось бы, зачем доказывать столь абстрактное утверждение? Как это влияет на нашу повседневную жизнь? Соль заключается в том, что всякая энергетическая система, как известно, стремится занять самое низкоэнергетическое состояние как самое устойчивое. В таком случае, если средняя плотность энергии во Вселенной отрицательна, то Вселенная будет стремиться к самому устойчивому и низкоэнергетическому состоянию – то есть к состоянию с бесконечно отрицательной энергией. А это означает, что Вселенная, скорее всего, сколлапсирует (схлопнется) в сингулярность, которой она являлась до Большого взрыва. Думаю, становится понятно, что такой факт означает гибель всего и вся во Вселенной, т.е. это будет очередной вариант конца света. Однако доказав, что плотность энергии все-таки положительна, подобный сценарий апокалипсиса не исключается: возможен так называемый эффект туннелирования вакуума, при котором энергия Вселенной может случайным образом преодолеть барьер и уйти в отрицательную область, что приведет нас к молниеносной гибели.
Таким образом, помимо астероидов, инопланетян и порабощения разумными машинами, струнные теоретики «обрадовали» нас еще двумя экзотическими вариантами исчезновения всего живого: декомпактификацией многообразий Калаби-Яу и туннелированием вакуума. Первый вариант еще нужно доказать, а насчет второго могут быть вполне реальные опасения. Тем не менее, теория струн не ставила своей целью поиски новых сценариев гибели человечества; ее мотивы созидательны: объединить все известные силы в одну строгую и изящную теорию, применимую на любых масштабах и энергиях. А вот получится это или нет – покажет время (и эксперимент). Нам же остается надеяться, что однажды утром мы не проснемся в десятимерном пространстве и не окажемся внутри схлопнувшейся сингулярности.
Очень познавательно и понятно. Побольше бы подобных статей в доступной форме.