Не парадоксальный парадокс теории азартных математиков
«Бог не играет в кости»
– А. Эйнштейн
Ортодоксальное введение
Теория вероятности, описывающая случайные, непредопределенные явления и процессы, возникла довольно давно. И возникла она после того, как кучка математиков (с Бернулли во главе), сидя за карточным столом, предположила, каковы шансы на выигрыш в той или иной азартной игре, будь она связана с картами, костями или фишками. Понятное дело, что многое в таких играх зависит от везения, от случайного расположения карт, костей, звезд на небе и т.д. Например, каждый раз, тасуя колоду карт, вы создаете уникальную во Вселенной комбинацию (расположение) этих карт, ведь число возможных перестановок в колоде из 36 карт определяется числом 36!, являющимся астрономически большим. Но, тем не менее, можно попробовать подсчитать шансы на выпадение той или иной карты в процессе игры. Руку к теории вероятности приложили в свое время и Гаусс, и Лаплас, и Пуассон, и Байес (хотя формулу Байеса вывел вовсе не Байес), и Стьюдент, и т.д. Начиная свои расчеты как шуточные и развлекательные, математики развили их в настоящую математическую теорию, нашедшую применение во многих областях науки и техники. Могу с абсолютной уверенностью говорить за электросвязь: все сигналы, используемые в любых системах связи, являются случайными. Мы никогда не знаем, что именно будет принято в точке приема, а можем лишь предсказать с некоторой долей уверенности. Предсказания эти строятся по большей части на корреляционных связях и зависимостях, из анализа заданного закона распределения – то есть на основе могучего аппарата теории вероятностей. Поэтому можно (без особого страха быть закиданным шапками) заявить, что не будь развитой математической базы теории вероятностей, не было бы и современной электросвязи. Теория эта завязана на алгебре логики, определяющей, какие события в ходе эксперимента могут происходить одновременно, какие – не могут, при каких условиях происходят одни события и не происходят другие и т.д. Как и во многих математических теориях, в теорвере иногда появляются логические выводы, не очевидные и не понятные на первый взгляд, однако являющиеся абсолютно верными. Именно на подобных логических казусах строятся такие вещи, как парадоксы, одним из которых является парадокс Монти-Холла.
В чем, собственно, проблема
Давайте представим, что мы находимся на телевикторине. Суть ее заключается в следующем: перед нами находятся три двери, за одной из которых спрятан ААААААВТОМОБИЛЬ, а за двумя другими – по козлу. Двери, естественно, закрыты. В начале игры ведущий предлагает нам выбрать одну из дверей, но не отворяет ее; затем он открывает одну из оставшихся дверей, за которой точно находится козел, и предлагает нам поменять свой выбор на оставшуюся закрытую дверь. Итого, имеем: дверь, которую мы выбрали сначала; дверь, за которой, как мы выяснили, стоит козел, и еще одну закрытую дверь.
Внимание, вопрос: а стоит ли менять свой выбор, или же надо настоять на открытии двери, выбранной изначально?
Рисунок 1. Стоит ли менять свой выбор?
Обывательская интуиция подсказывает, что после открытия одной из дверей шансы на выигрыш уравнялись (50/50) и нет смысла менять дверь. Парадокс заключается в том, что при смене выбора двери шансы на выигрыш приза увеличиваются вдвое, но почему так происходит?
Мнение автора поста, не претендующее на единственно верное
Я видел не одно «популярное» объяснение этого парадокса, но все они настолько сложны и запутаны, что начинает казаться, будто эти туманные разъяснения не иначе, как заговор с лотерейщиками. Давайте рассуждать логически. Изначально наши шансы на выигрыш составляют 1/3: две двери с козлами, одна с машиной. Стало быть, возможны два случая: либо мы сначала выбираем козла (что наиболее вероятно), либо – машину. Далее мы можем поменять или не поменять дверь. Но что же мы тогда получим? Здесь возможны уже четыре варианта развития событий.
1. Сначала мы выбрали машину и не стали менять выбор.
Если наша сверхъестественная интуиция подсказывает нам правильно, то мы не поддадимся манипуляциям шулера-ведущего; мы будем просто космически уверены в том, что за оставшимися дверьми – козлы. Однако здесь стоит учесть, что шанс на выбор правильной двери составляет, как было сказано, 33,3%, что не очень обнадеживает.
Результат: выигрыш ААААВТОМОБИЛЯ! (хотя и маловероятный)
2. Сначала мы выбрали машину, но поменяли-таки дверь.
Здесь уже сказывается неуверенность человека в своем выборе. Прямо как в том анекдоте: «Доктор, помогите, я так сильно во всем сомневаюсь… или не сомневаюсь… Я не знаю!». Шутки шутками, а зомбо-ведущий заставляет нас сомневаться в своем решении и поменять дверь с заветной машиной на дверь с козлом. Провал, слезы, разочарование.
Результат: едем домой на козле, почти как Шурик в комедии Гайдая.
3. Сначала мы выбрали козла и не поменяли дверь.
Стоит напомнить, что шанс выбрать одну из дверей с козлами составляет ни много ни мало 66,6%. Интуиция нас подводит, но шарлатан-ведущий не в состоянии переубедить нас в своей правоте, поэтому опять нам достается парнокопытное.
Результат: и снова мы подобны Шурику.
4. И, наконец, самый интересный вариант: сначала мы выбрали дверь с козлом, но затем поменяли свой выбор.
Как уже было сказано, вероятность выбрать дверь с козлом составляет 2/3. Теперь ситуация следующая: допустим, что мы выбрали дверь с козлом; ведущий открыл нам вторую дверь с животным, стало быть, за оставшейся дверью – автомобиль! И теперь мы, наконец-то, выиграли! Смотрите, что получается: если мы твердо решили менять выбор по предложению ведущего, тогда для того, чтобы выиграть машину, сначала нам нужно выбрать неправильную дверь, чтобы потом поменять выбор на правильную (логично? логично!). Но как мы узнаем, какая из оставшихся дверей правильная? Все просто – дверь с козлом открывает ведущий.
Если же наша стратегия заключается в неизменности выбора, то нам нужно сразу выбрать правильную дверь. Но, как говорится, дьявол кроется в деталях: вся соль в том, что вероятность изначально выбрать неправильную дверь в два раза больше, чем выбрать правильную! Поэтому получается, что при стратегии со сменой выбора двери шанс выиграть машину становится не 33,3%, а целых 66,6%, и, стало быть, такая стратегия более выигрышная. Резюме: при стратегии изменения выбора для выигрыша нужно сначала выбрать неправильную дверь, вероятность выбора которой в два раза больше. Вот и получается, что после открытия ведущим двери с козлом шансы на выигрыш машины при смене выбора будут равны 2/3 против вероятности, равной 1/3 при сохранении выбора, а вовсе не 50/50, как кажется на первый взгляд.
Для тех, кто верит формулам, а не словам
Итак, для нас благоприятны два исхода: либо мы сразу угадываем дверь с машиной и не меняем выбор, либо сначала угадываем дверь с козлом, а потом меняем выбор на верную дверь.
Вероятность первого события:
Р(А1) = 1/3 = 0,333
Вероятность второго события:
Р(А2) = (2/3)*1 = 0,667,
где 2/3 – вероятность изначального выбора козла, 1 – стопроцентная вероятность нахождения машины за оставшейся дверью после обнаружения второго козла ведущим.
Может показаться, что если сложить обе рассмотренные вероятности Р(А1) и Р(А2), то получим 100%-ную вероятность выигрыша автомобиля. Однако это не так: эти события рассматривают два разных сценария: либо сначала выбираем машину, либо козла, а потом либо сохраняем выбор, либо меняем, поэтому для случая А1 событием, составляющим полную группу, будет изначальный выбор козла (р=2/3) и сохранение выбора, а для случая А2 – изначальный выбор машины (р1=1/3) и изменение выбора на дверь с козлом (р2=1, q(A2) = (1/3)*1 = 0,333).
Как видно, парадокс заключается в нашем неправильном интуитивном восприятии шансов на выигрыш, однако такое восприятие является результатом того, что мы не учитываем начальные условия (вероятности) викторины. А логика, как уже говорилось, проста: чтобы сделать правильный выбор потом, сначала нужно выбрать неправильную дверь, вероятность выбора которой в 2 раза больше. Поэтому если вам доведется участвовать в подобном шоу, не задумываясь меняйте свой выбор на противоположный.
Азат, спасибо за очень полезную и весёлую статью!
Здорово, что ты поднял такую интересную задачу, тем более - очень близкую к теории связи (как бы странно это ни показалось на первый взгляд). Альтернативный подход к ее решению может быть следующий: будем отталкиваться не от вероятности правильного приема сигнала (то есть вероятности ааавтомобиля), а от вероятности ошибки, как это обычно делается в цифровой связи (в нашем случае это будет вероятность козла). А вероятность правильного приема мы всегда можем вычислить как (1-Pe), где Pe - вероятность ошибки (т.е. козла). Тогда при стратегии, когда мы не меняем своего решения после выявления одного из козлов, вероятность правильного приема будет просто 1-2/3=1/3. Здесь решение принимается только один раз, поэтому вероятность ошибки так и остается 2/3. Если же мы вмешиваемся в процесс, поменяв своё решение, вероятности ошибки при двух выборах перемножаются, и мы получаем вероятность правильного приема: 1-(2/3)*(1/2)=2/3. Как же нам удалось настолько повысить надежность передачи? Всё просто: выявив одного из козлов, ведущий внёс избыточность в наш код, которая позволила в два раза снизить BER.
Случай, конечно, немного непривычный с точки зрения телекома - изначально слишком слабое SNR (в данном случае, CGR - car-to-goat ratio).
Кстати, интересно было бы раскрутить эту задачу дальше, на общий случай, когда у нас N дверей, за которыми в некоторой пропорции распределены автомобили и козлы, и M возможностей менять свой выбор.